Ре­ше­ние. С уче­том ко­мис­сии, Аня долж­на вне­сти в при­ем­ное устрой­ство сумму не менее 400 + 400 · 0,05  =  420 руб­лей. Про­ве­рим, до­ста­точ­но ли этой суммы: 5% от 420 руб. со­став­ля­ют 21 руб. (это ко­мис­сия), остав­ши­е­ся 399 руб. пой­дут на счет те­ле­фо­на. Но Аня хо­те­ла по­ло­жить не менее 400 руб., сле­до­ва­тель­но, надо по­ло­жить боль­ше 420 руб. Про­ве­рим 430 руб.: ко­мис­сия со­став­ля­ет 21,5 руб., оста­ет­ся 408,5 руб. До­ста­точ­но.

Ответ: 430.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

После упла­ты 5% ко­мис­сии на счет те­ле­фо­на остаётся 95% вно­си­мой суммы, ко­то­рая долж­на быть не мень­ше 400 руб­лей. Если нужно вне­сти x руб­лей, то 0,95x ≥ 400, от­ку­да x ≥ 421,05... По­это­му x = 430 руб.

Ре­ше­ние. По свой­ствам сте­пе­ней имеем:

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой суммы бес­ко­неч­но убы­ва­ю­щей гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии:

Ответ: 32.

Ре­ше­ние. Углы ACB и BAC равны, т. к. на­хо­дят­ся при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка; пусть один из них равен x. По­сколь­ку сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°, имеем: ∠ABC = 180° − x − x. Угол ACB сме­жен с углом 123°, зна­чит, равен 180° − 123° = 57°. Сле­до­ва­тель­но, x = 57°, от­ку­да ∠ABC = 180° − 2·57° = 66°.

Ответ: 66.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим все воз­мож­ные ис­хо­ды же­ре­бьев­ки.

 · Ко­ман­да А в обоих мат­чах пер­вой вла­де­ет мячом.

 · Ко­ман­да А в обоих мат­чах не вла­де­ет мячом пер­вой.

 · Ко­ман­да А в матче с ко­ман­дой В вла­де­ет мячом пер­вой, а в матче с ко­ман­дой С  — вто­рой.

 · Ко­ман­да А в матче с ко­ман­дой С вла­де­ет мячом пер­вой, а в матче с ко­ман­дой В  — вто­рой.

Из че­ты­рех ис­хо­дов один яв­ля­ет­ся бла­го­при­ят­ным, ве­ро­ят­ность его на­ступ­ле­ния равна 0,25.

Ответ: 0,25.

Ре­ше­ние. Пусть A  — мно­же­ство уче­ни­ков, сда­ю­щих эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке, B  — мно­же­ство уче­ни­ков, сда­ю­щих эк­за­мен по фи­зи­ке. Имеем:

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. По ри­сун­ку опре­де­ля­ем, что перед нами па­ра­бо­ла вида (то есть ), с вер­ши­ной в точке по­это­му Тогда

Ответ: 31.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Из ри­сун­ка видно, что сле­до­ва­тель­но,

Решая по­лу­чен­ную си­сте­му, на­хо­дим: a  =  1, b  =  6, c  =  4. Тогда

Ответ: 31.

Ре­ше­ние. Каж­дая из ко­стей может вы­пасть ше­стью ва­ри­ан­та­ми, по­это­му общее число ис­хо­дов равно 36. В шести слу­ча­ях из них на синей и жел­той ко­стях вы­па­дет рав­ное число очков. Из остав­ших­ся 30 слу­ча­ев, числа на ко­стях от­ли­ча­ют­ся не боль­ше, чем на два, если вы­па­ли числа 1 и 2, 1 и 3, 2 и 3, 2 и 4, 3 и 4, 3 и 5, 4 и 5, 4 и 6, 5 и 6 и в про­ти­во­по­лож­ном по­ряд­ке, всего 18 раз­лич­ных ком­би­на­ций. Ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна

Ответ: 0,67.

Ре­ше­ние. Ис­поль­зу­ем фор­му­лы при­ве­де­ния:

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Пусть точка P  — се­ре­ди­на сто­ро­ны По­сколь­ку то тре­уголь­ник PCD  — рав­но­бед­рен­ный. Угол при вер­ши­не этого тре­уголь­ни­ка равен 60°, сле­до­ва­тель­но, углы при ос­но­ва­нии равны зна­чит, тре­уголь­ник PCD  — рав­но­сто­рон­ний. Угол BCP равен Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что тре­уголь­ник BCP  — рав­но­сто­рон­ний. Най­дем угол Ана­ло­гич­но двум преды­ду­щим тре­уголь­ни­кам по­лу­ча­ем, что тре­уголь­ник ABP  — рав­но­сто­рон­ний. По­лу­чи­ли, что пло­щадь тра­пе­ции равна сумме пло­ща­дей трех рав­ных рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков со сто­ро­ной a  =  1:

Умно­жая ре­зуль­тат на по­лу­ча­ем 9.

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. Из пред­ло­жен­но­го спис­ка пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мые AB и AA₁.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. а)  Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­ла­ми при­ве­де­ния:

б)  Для от­бо­ра кор­ней вос­поль­зу­ем­ся еди­нич­ной окруж­но­стью (см. рис.). Итак, про­ме­жут­ку при­над­ле­жат корни и

Ответ: а)  б) 

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние:

Ме­то­дом ин­тер­ва­лов по­лу­ча­ем

Ответ:

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние: при

Зна­чит,

По­стро­им ветвь ги­пер­бо­лы при и уда­лим точку Затем по­стро­им вто­рую часть гра­фи­ка сим­мет­рич­но пер­вой от­но­си­тель­но оси ор­ди­нат.

На ри­сун­ке видно, что пря­мая не имеет с по­стро­ен­ным гра­фи­ком общих точек, если она го­ри­зон­таль­на, либо про­хо­дит через одну из уда­лен­ных точек или Этим слу­ча­ям со­от­вет­ству­ют зна­че­ния и

Ответ:

Ре­ше­ние. Пря­мые AC и A₁C₁ па­рал­лель­ны, по­это­му угол между пря­мы­ми A₁D и AC равен углу DA₁C₁. В тре­уголь­ни­ке DA₁C₁:

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть — ве­ро­ят­ность не­уда­чи в одном ис­пы­та­нии. Имеем:

Ответ: в 2 раза.