Ре­ше­ние. Пусть x  — пер­во­на­чаль­ная цена на товар. Тогда в чет­верг цена то­ва­ра была равна 1,3x, а в пят­ни­цу  — сле­до­ва­тель­но, товар по­до­ро­жал на 43%.

Ответ: 43.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: −0,5.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 18.

Ре­ше­ние. Най­дем пер­вый член про­грес­сии:

Най­дем де­вят­на­дца­тый член про­грес­сии:

Най­дем сумму пер­вых де­вят­на­дца­ти чле­нов про­грес­сии:

Ответ: −285.

Ре­ше­ние. Пусть x  — длина ка­те­та, ле­жа­ще­го про­тив угла в 30°, тогда ги­по­те­ну­за равна вто­рой катет равен

Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ка­те­тов.

Сле­до­ва­тель­но, длина ги­по­те­ну­зы, равна 16.

Ответ: 16.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, при­ле­жа­ще­го к углу 30° равна Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ре­ше­ние. Всего спортс­ме­нов 11 + 6 + 3 = 20 че­ло­век. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что пер­вым будет стар­то­вать спортс­мен из Рос­сии, равна

Ответ: 0,55.

Ре­ше­ние. Ответ: 3.

Ре­ше­ние. По ри­сун­ку опре­де­ля­ем, что перед нами па­ра­бо­ла вида то есть с вер­ши­ной в точке с ко­ор­ди­на­та­ми по­это­му По­лу­ча­ем:

Ответ: − 115.

Ре­ше­ние. Ко­ли­че­ство ис­хо­дов, при ко­то­рых в ре­зуль­та­те двух брос­ков ку­би­ка вы­па­да­ет 7 очков, при этом при пер­вом брос­ке вы­па­да­ет боль­ше очков, чем при вто­ром, равно 3: 6 + 1, 5 + 2, 4 + 3.

Если при пер­вом брос­ке ку­би­ка вы­па­ло 6 очков, при вто­ром брос­ке могло вы­пасть 1, 2, 3, 4 или 5 очков  — 5 ва­ри­ан­тов. Если при пер­вом брос­ке вы­па­ло 5 очков, при вто­ром могло вы­пасть 1, 2, 3 или 4 очка  — 4 ва­ри­ан­та. Если при пер­вом брос­ке вы­па­ло 4 очка, при вто­ром могло вы­пасть 1, 2 или 3 очка  — 3 ва­ри­ан­та. Если при пер­вом брос­ке вы­па­ло 3 очка, при вто­ром могло вы­пасть 1 или 2 очка  — 2 ва­ри­ан­та. Если при пер­вом брос­ке вы­па­ло 2 очка, при вто­ром могло вы­пасть толь­ко 1 очко  — 1 ва­ри­ант. Итого при двух брос­ках ку­би­ков воз­мож­ны 5 + 4 + 3 + 2 + 1  =  15 ис­хо­дов. Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность того, что при двух брос­ках в сумме вы­па­ло 7 очков, при этом при пер­вом брос­ке вы­па­ло боль­ше очков, чем при вто­ром, равна

Ответ: 0,2.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку угол альфа лежит в тре­тьей чет­вер­ти, его тан­генс по­ло­жи­те­лен. По­это­му

Тогда

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Диа­го­на­ли ромба пе­ре­се­ка­ют­ся под пря­мым углом, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник AOD  — пря­мо­уголь­ный. Ра­ди­ус окруж­но­сти OE пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной AD, OE  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка AOD. По свой­ству вы­со­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ной к ги­по­те­ну­зе:

тогда AD  =  10. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке EOD:

тогда По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке AOD:

тогда Най­дем пло­щадь ромба как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей:

Ответ: 80.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние. Ра­ди­ус окруж­но­сти OE пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной AD. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке EOD:

тогда длина BD  — мень­шей диа­го­на­ли ромба  — равна

Пусть AE  =  x, AO  =  y. При­ме­нив тео­ре­му Пи­фа­го­ра в пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках AOE и AOD, со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний:

Вы­чи­тая из пер­во­го урав­не­ния вто­рое, по­лу­ча­ем:

Под­став­ляя най­ден­ное зна­че­ние в пер­вое урав­не­ние си­сте­мы, на­хо­дим:

Таким об­ра­зом, AE  =  8, тогда длина AC  — боль­шей диа­го­на­ли ромба  — равна Най­дем пло­щадь ромба как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей:

Ответ: 80.

Ре­ше­ние. 1)  Пря­мая SA пер­пен­ди­ку­ляр­на всем пря­мым плос­ко­сти ос­но­ва­ния. Пря­мая SN та­ко­вой не яв­ля­ет­ся.

2)  Пря­мая CM со­дер­жит в себе ос­но­ва­ние пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка, а пря­мая AO  — его ме­ди­а­ну, а по­то­му и вы­со­ту. Пря­мые пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

3)  Пря­мая SA пер­пен­ди­ку­ляр­на всем пря­мым плос­ко­сти ос­но­ва­ния. Пря­мая BP лежит в ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды. Пря­мые пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

4)  Эти пря­мые со­дер­жат в себе ме­ди­а­ны пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка. Углы между ме­ди­а­на­ми та­ко­го тре­уголь­ни­ка равны 60° или 120°.

5)  Пря­мая SM со­дер­жит от­ре­зок SM, яв­ля­ю­щий­ся ме­ди­а­ной рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, а по­то­му и вы­со­той. Зна­чит, пря­мая SM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой CB. В тре­уголь­ни­ке ABC пря­мая NP со­дер­жит сред­нюю линию, па­рал­лель­ную пря­мой BC. Сле­до­ва­тель­но, пря­мые NP и SM пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

Ответ: 235.

Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

б)  На от­рез­ке корни отберём с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти. По­лу­ча­ем и

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. По­сколь­ку зна­ме­на­тель левой части не имеет кор­ней, ме­то­дом ин­тер­ва­лов по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. При имеем:

По­это­му гра­фик за­дан­ной функ­ции пред­став­ля­ет собой ги­пер­бо­лу, с вы­ко­ло­той точ­кой (−0,5; −2). Пря­мая будет иметь с гра­фи­ком одну общую точку, если прой­дет через вы­ко­ло­тую точку. Тогда и урав­не­ние пря­мой при­мет вид:

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Ответ: 60°.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку би­ат­ло­нист по­па­да­ет в ми­ше­ни с ве­ро­ят­но­стью 0,8, он про­ма­хи­ва­ет­ся с ве­ро­ят­но­стью 1 − 0,8  =  0,2. Cобы­тия по­пасть или про­мах­нуть­ся при каж­дом вы­стре­ле не­за­ви­си­мы, ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий равна про­из­ве­де­нию их ве­ро­ят­но­стей. Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность со­бы­тия «попал, попал, попал, про­мах­нул­ся, про­мах­нул­ся» равна

Ответ: 0,02.