Диа­го­на­ли ромба пе­ре­се­ка­ют­ся под пря­мым углом, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник AOD  — пря­мо­уголь­ный. Ра­ди­ус окруж­но­сти OE пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной AD, OE  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка AOD. По свой­ству вы­со­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ной к ги­по­те­ну­зе:

тогда AD  =  10. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке EOD:

тогда По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке AOD:

тогда Най­дем пло­щадь ромба как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей:

Ответ: 80.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние. Ра­ди­ус окруж­но­сти OE пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной AD. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке EOD:

тогда длина BD  — мень­шей диа­го­на­ли ромба  — равна

Пусть AE  =  x, AO  =  y. При­ме­нив тео­ре­му Пи­фа­го­ра в пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках AOE и AOD, со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний:

Вы­чи­тая из пер­во­го урав­не­ния вто­рое, по­лу­ча­ем:

Под­став­ляя най­ден­ное зна­че­ние в пер­вое урав­не­ние си­сте­мы, на­хо­дим:

Таким об­ра­зом, AE  =  8, тогда длина AC  — боль­шей диа­го­на­ли ромба  — равна Най­дем пло­щадь ромба как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей:

Ответ: 80.