В четырёхугольной пирамиде PABCD найдите расстояние между: а) прямыми PA и CD; б) PD и CB; в) прямой, соединяющей середины рёбер BC и PD, и высотой пирамиды, опущенной из вершины P; г) прямой, соединяющей середины рёбер AB и BC, и высотой пирамиды, опущенной из вершины P, если в основании пирамиды лежит прямоугольник ABCD, 
все боковые рёбра пирамиды равны 13.
Пусть O — основание высоты пирамиды. Поскольку все боковые ребра пирамиды равны, то все прямоугольные треугольники POA, POB, POC, POD равны по катету и гипотенузе, следовательно,
то есть O — центр описанной окружности основания, точка пересечения диагоналей прямоугольника. При этом
и 
а) Поскольку 
получаем
Последний переход следует из того, что 
и 
поэтому 
и потому AB перпендикулярно любой прямой (например высоте треугольника MPT), лежащей в этой плоскости. Далее
б) Решение аналогично предыдущему пункту. Поскольку 
получаем
Последний переход следует из того, что 
и 
поэтому 
и потому AD перпендикулярно любой прямой (например высоте треугольника HPK), лежащей в этой плоскости. Далее,
в) Введем координаты как показано на рисунке. Найдем координаты некоторых точек (E — середина PD): 
как середина PD.
Значит, можно найти координаты векторов 
и 
Найдем теперь координаты вектора, перпендикулярного двум данным. Пусть это вектор 
тогда 
и 
Из первого уравнения находим 
а для второго уравнения можно взять, например 
Рассмотрим теперь плоскость, содержащую прямую KE и параллельную прямой PO. Вектор нормали этой плоскости должен быть перпендикулярен векторам 
и 
то есть пропорционален найденному нами вектору 
Значит, ее уравнение имеет вид 
Подставляя в это уравнение точку K, получаем 
откуда 
Итак, уравнение этой плоскости 
Осталось найти расстояние от какой-нибудь точки прямой OP (например, от O) до этой плоскости. Получим
г) Опустим из O перпендикуляр на MK. Поскольку он лежит в плоскости основания пирамиды, он перпендикулярен также PO. Значит, его длина и есть расстояние между прямыми. Поэтому оно равно
Ответ: а) 
б) 
в) 
г) 