Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 4 № 46
i

Сумма бес­ко­неч­но убы­ва­ю­щей про­грес­сии равна 32, а сумма ее пер­вых че­ты­рех чле­нов 30. Чему равен пер­вый член дан­ной про­грес­сии, если зна­ме­на­тель про­грес­сии боль­ше нуля?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим пер­вый член про­грес­сии за b, а зна­ме­на­тель ее за q. Про­грес­сия бес­ко­неч­но убы­ва­ет, а ее зна­ме­на­тель боль­ше нуля, по­это­му 0 мень­ше q мень­ше 1.

По фор­му­ле суммы бес­ко­неч­но убы­ва­ю­щей гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии по­лу­ча­ем 32= дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: 1 минус q конец дроби , от­ку­да b = 32 левая круг­лая скоб­ка 1 минус q пра­вая круг­лая скоб­ка .

С дру­гой сто­ро­ны, сумма всех ее чле­нов, на­чи­ная с пя­то­го (bq4), равна 32 минус 30=2, при этом они тоже об­ра­зу­ют бес­ко­неч­но убы­ва­ю­щую гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию. Зна­чит,

2= дробь: чис­ли­тель: bq в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: 1 минус q конец дроби = дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: 1 минус q конец дроби умно­жить на q в сте­пе­ни 4 =32q в сте­пе­ни 4 ,

от­ку­да q в сте­пе­ни 4 = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби и q = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Тогда b = 32 левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = 16.

Ответ: 16.