Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 1 № 1570

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС с пря­мым углом С на сто­ро­не ВС от­ме­ти­ли точку Е так, что \angle AEB = 120 гра­ду­сов . Най­ди­те АВ, если из­вест­но, что ВЕ  =  3, AC = ко­рень из 3 . В от­ве­те ука­жи­те квад­рат по­лу­чен­но­го зна­че­ния.

 

 

 

 

 

ИЛИ

В ромбе ABCD диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О. Окруж­ность ра­ди­у­сом 4 впи­са­на в ромб и ка­са­ет­ся сто­ро­ны AD в точке Е. Най­ди­те пло­щадь ромба, если из­вест­но, что DE  =  2.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Так как угол AEB равен 120°, угол AEC равен 60° по свой­ству смеж­ных углов, от­ку­да угол CAE равен 30°. Пусть CE  =  x, тогда AE  =  2x по свой­ству ка­те­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, ле­жа­ще­го на­про­тив угла, рав­но­го 30°. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ACE:

AC в квад­ра­те плюс CE в квад­ра­те = AE в квад­ра­те рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка ко­рень из 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс x в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но 3x в квад­ра­те = 3 рав­но­силь­но x = 1,

сле­до­ва­тель­но, CE  =  1. Длина сто­ро­ны CB равна 4, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ACB:

AC в квад­ра­те плюс CB в квад­ра­те = AB в квад­ра­те рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка ко­рень из 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 4 в квад­ра­те = AB в квад­ра­те рав­но­силь­но AB в квад­ра­те = 19 рав­но­силь­но AB = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 19 конец ар­гу­мен­та .

Так как в от­ве­те не­об­хо­ди­мо ука­зать квад­рат по­лу­чен­но­го зна­че­ния, ответ  — 19.

 

Ответ: 19.

ИЛИ

Диа­го­на­ли ромба пе­ре­се­ка­ют­ся под пря­мым углом, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник AOD  — пря­мо­уголь­ный. Ра­ди­ус окруж­но­сти OE пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной AD, OE  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка AOD. По свой­ству вы­со­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ной к ги­по­те­ну­зе:

OE = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AE умно­жить на ED конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AE умно­жить на 2 конец ар­гу­мен­та = 4 рав­но­силь­но AE умно­жить на 2 = 16 рав­но­силь­но AE = 8,

тогда AD  =  10. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке EOD:

OE в квад­ра­те плюс ED в квад­ра­те = OD в квад­ра­те рав­но­силь­но 4 в квад­ра­те плюс 2 в квад­ра­те = OD в квад­ра­те рав­но­силь­но OD в квад­ра­те = 20 рав­но­силь­но OD = 2 ко­рень из 5 ,

тогда BD = 4 ко­рень из 5 . По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке AOD:

AO в квад­ра­те плюс OD в квад­ра­те = AD в квад­ра­те рав­но­силь­но AO в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2 ко­рень из 5 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = 10 в квад­ра­те рав­но­силь­но AO в квад­ра­те = 80 рав­но­силь­но AO = 4 ко­рень из 5 ,

тогда AC = 8 ко­рень из 5 . Най­дем пло­щадь ромба как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей:

S = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BD умно­жить на AC = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 4 ко­рень из 5 умно­жить на 8 ко­рень из 5 = 80.

Ответ: 80.

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние. Ра­ди­ус окруж­но­сти OE пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной AD. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке EOD:

OE в квад­ра­те плюс ED в квад­ра­те = OD в квад­ра­те рав­но­силь­но 4 в квад­ра­те плюс 2 в квад­ра­те = OD в квад­ра­те рав­но­силь­но OD в квад­ра­те = 20 рав­но­силь­но OD = 2 ко­рень из 5 ,

тогда длина BD  — мень­шей диа­го­на­ли ромба  — равна 4 ко­рень из 5 .

Пусть AE  =  x, AO  =  y. При­ме­нив тео­ре­му Пи­фа­го­ра в пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках AOE и AOD, со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний:

си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те плюс 4 = y в квад­ра­те , y в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2 ко­рень из 5 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те минус y в квад­ра­те = минус 16, y в квад­ра­те плюс 20 = x в квад­ра­те плюс 4x плюс 4 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те минус y в квад­ра­те = минус 16, x в квад­ра­те минус y в квад­ра­те плюс 4x = 16. конец си­сте­мы .

Вы­чи­тая из пер­во­го урав­не­ния вто­рое, по­лу­ча­ем:

минус 4x = минус 16 минус 16 рав­но­силь­но минус 4x = минус 32 рав­но­силь­но x = 8.

Под­став­ляя най­ден­ное зна­че­ние в пер­вое урав­не­ние си­сте­мы, на­хо­дим:

8 в квад­ра­те минус y в квад­ра­те = минус 16 рав­но­силь­но y в квад­ра­те = 64 плюс 16 рав­но­силь­но y в квад­ра­те = 80 рав­но­силь­но y = 4 ко­рень из 5 .

Таким об­ра­зом, AE  =  8, AO = 4 ко­рень из 5 , тогда длина AC  — боль­шей диа­го­на­ли ромба  — равна 8 ко­рень из 5 . Най­дем пло­щадь ромба как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей:

S = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BD умно­жить на AC = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 4 ко­рень из 5 умно­жить на 8 ко­рень из 5 = 80.

Ответ: 80.


-------------
Дублирует задание № 13.
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026