РЕШУ ВПР — математика–10

Задания

Тип 1 № 1570 Добавить в вариант

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С на стороне ВС отметили точку Е так, что $\angle AEB = 120 градусов .$ Найдите АВ, если известно, что ВЕ  =  3, $AC = корень из 3 .$ В ответе укажите квадрат полученного значения.

ИЛИ

В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке О. Окружность радиусом 4 вписана в ромб и касается стороны AD в точке Е. Найдите площадь ромба, если известно, что DE  =  2.

Решение. Так как угол AEB равен 120°, угол AEC равен 60° по свойству смежных углов, откуда угол CAE равен 30°. Пусть CE  =  x, тогда AE  =  2x по свойству катета прямоугольного треугольника, лежащего напротив угла, равного 30°. По теореме Пифагора в треугольнике ACE:

$AC в квадрате плюс CE в квадрате = AE в квадрате равносильно левая круглая скобка корень из 3 правая круглая скобка в квадрате плюс x в квадрате = левая круглая скобка 2x правая круглая скобка в квадрате равносильно 3x в квадрате = 3 равносильно x = 1,$

следовательно, CE  =  1. Длина стороны CB равна 4, по теореме Пифагора в треугольнике ACB:

$AC в квадрате плюс CB в квадрате = AB в квадрате равносильно левая круглая скобка корень из 3 правая круглая скобка в квадрате плюс 4 в квадрате = AB в квадрате равносильно AB в квадрате = 19 равносильно AB = корень из: начало аргумента: 19 конец аргумента .$

Так как в ответе необходимо указать квадрат полученного значения, ответ  — 19.

Ответ: 19.

ИЛИ

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, следовательно, треугольник AOD  — прямоугольный. Радиус окружности OE перпендикулярен касательной AD, OE  — высота треугольника AOD. По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе:

$OE = корень из: начало аргумента: AE умножить на ED конец аргумента равносильно корень из: начало аргумента: AE умножить на 2 конец аргумента = 4 равносильно AE умножить на 2 = 16 равносильно AE = 8,$

тогда AD  =  10. По теореме Пифагора в треугольнике EOD:

$OE в квадрате плюс ED в квадрате = OD в квадрате равносильно 4 в квадрате плюс 2 в квадрате = OD в квадрате равносильно OD в квадрате = 20 равносильно OD = 2 корень из 5 ,$

тогда $BD = 4 корень из 5 .$ По теореме Пифагора в треугольнике AOD:

$AO в квадрате плюс OD в квадрате = AD в квадрате равносильно AO в квадрате плюс левая круглая скобка 2 корень из 5 правая круглая скобка в квадрате = 10 в квадрате равносильно AO в квадрате = 80 равносильно AO = 4 корень из 5 ,$

тогда $AC = 8 корень из 5 .$ Найдем площадь ромба как половину произведения диагоналей:

$S = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BD умножить на AC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 корень из 5 умножить на 8 корень из 5 = 80.$

Ответ: 80.

Приведем другое решение. Радиус окружности OE перпендикулярен касательной AD. По теореме Пифагора в треугольнике EOD:

тогда длина BD  — меньшей диагонали ромба  — равна $4 корень из 5 .$

Пусть AE  =  x, AO  =  y. Применив теорему Пифагора в прямоугольных треугольниках AOE и AOD, составим систему уравнений:

$система выражений x в квадрате плюс 4 = y в квадрате , y в квадрате плюс левая круглая скобка 2 корень из 5 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате конец системы . равносильно система выражений x в квадрате минус y в квадрате = минус 16, y в квадрате плюс 20 = x в квадрате плюс 4x плюс 4 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате минус y в квадрате = минус 16, x в квадрате минус y в квадрате плюс 4x = 16. конец системы .$

Вычитая из первого уравнения второе, получаем:

$минус 4x = минус 16 минус 16 равносильно минус 4x = минус 32 равносильно x = 8.$

Подставляя найденное значение в первое уравнение системы, находим:

$8 в квадрате минус y в квадрате = минус 16 равносильно y в квадрате = 64 плюс 16 равносильно y в квадрате = 80 равносильно y = 4 корень из 5 .$

Таким образом, AE  =  8, $AO = 4 корень из 5 ,$ тогда длина AC  — большей диагонали ромба  — равна $8 корень из 5 .$ Найдем площадь ромба как половину произведения диагоналей:

Ответ: 80.

Ответ: 19|80

1570

19|80

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1570	19\|80