Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 1042
i

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре DABC, все рёбра ко­то­ро­го равны 4, най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра грани BCD до плос­ко­сти ADB.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть H  — се­ре­ди­на BD, O  — центр грани ABD. Тогда

AH=AD синус \angle ADH=AD синус 60 гра­ду­сов=4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Тогда CH=AH=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , как вы­со­ты рав­ных тре­уголь­ни­ков и

OH= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби DH= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ,

по­сколь­ку ме­ди­а­ны де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния в от­но­ше­нии 2 : 1 счи­тая от вер­ши­ны. Зна­чит, вы­со­та пи­ра­ми­ды равна

CO= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: CH в квад­ра­те минус HO в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 12 минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби умно­жить на 3 конец ар­гу­мен­та =4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

Пусть O1  — центр грани CBD. Тогда CO_1:O_1H=2:1. Опу­стим из O1 пер­пен­ди­ку­ляр на OH. Тре­уголь­ни­ки HO1T и HCO будут по­доб­ны (по двум углам - об­ще­му и пря­мо­му) с ко­эф­фи­ци­ен­том HO_1:HC=1:3, а по­сколь­ку O_1T\parallel CO, то O_1T\perp ABD. По­это­му ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно

O_1T= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби CO= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рийБалл
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Ре­ше­ние в целом вер­ное, но со­дер­жит не­до­стат­ки или вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: сайт Решу урок  —  стереометрия, задание № 1446.
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026