Ре­ше­ние. Цена на фут­бол­ку была сни­же­на на 800 − 680  =  120 руб­лей. Раз­де­лим 120 на 800:

Зна­чит, цена на фут­бол­ку была сни­же­на на 15%.

Ответ: 15.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 121.

Ре­ше­ние. Ис­поль­зу­ем фор­му­лу ко­си­ну­са двой­но­го угла :

Ответ: −1,5.

Ре­ше­ние. От­но­ше­ние со­сед­них чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии долж­но быть по­сто­ян­но, по­это­му

По усло­вию C по­ло­жи­тель­но.

Ответ: 27.

Ре­ше­ние. Пусть x  — мень­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма, а 2x  — боль­ший угол, x + 2x + x + 2x = 6x  — сумма углов па­рал­ле­ло­грам­ма, от­ку­да x = 60°.

Таким об­ра­зом, мень­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма равен 60°.

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. Из каж­дых 80 ак­ку­му­ля­то­ров в сред­нем будет 80 − 76  =  4 не­за­ря­жен­ных. Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность ку­пить не­за­ря­жен­ный ак­ку­му­ля­тор равна доле числа не­за­ря­жен­ных ак­ку­му­ля­то­ров из каж­дых 80 куп­лен­ных, то есть

Ответ: 0,05.

Ре­ше­ние. Пусть A  — мно­же­ство уче­ни­ков, сда­ю­щих эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке, B  — мно­же­ство уче­ни­ков, сда­ю­щих эк­за­мен по фи­зи­ке. Имеем:

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что урав­не­ние пря­мой имеет вид y  =  kx + b.

Найдём урав­не­ние функ­ции, от­ме­чен­ной на ри­сун­ке оран­же­вым цве­том. За­ме­тим, что k  — тан­генс угла на­кло­на пря­мой, тогда По гра­фи­ку f(−2)  =  1, от­сю­да Сле­до­ва­тель­но, урав­не­ние пря­мой имеет вид

Найдём урав­не­ние функ­ции, от­ме­чен­ной на ри­сун­ке синим цве­том. За­ме­тим, что k  — тан­генс угла на­кло­на пря­мой, тогда По гра­фи­ку f(3)  =  1, от­сю­да Сле­до­ва­тель­но, урав­не­ние пря­мой имеет вид

Те­перь найдём абс­цис­су точки пе­ре­се­че­ния функ­ций:

Тогда ор­ди­на­та точки пе­ре­се­че­ния функ­ций равна

Ответ: −11.

Ре­ше­ние. Пусть завод про­из­вел n та­ре­лок. В про­да­жу по­сту­пят все ка­че­ствен­ные та­рел­ки и 20% не­вы­яв­лен­ных де­фект­ных та­ре­лок: та­ре­лок. По­сколь­ку ка­че­ствен­ных из них ве­ро­ят­ность ку­пить ка­че­ствен­ную та­рел­ку равна

Округ­ляя ре­зуль­тат до сотых, по­лу­ча­ем 0,98.

Ответ: 0,98.

При­ве­дем ре­ше­ние с по­мо­щью чис­ло­во­го мо­де­ли­ро­ва­ния.

Пусть на фаб­ри­ке про­из­ве­де­но 1000 та­ре­лок. Из них 10%, то есть 100 штук, имеют де­фект. Из этих 100 штук си­сте­ма кон­тро­ля вы­явит 80%, то есть 80 штук. Осталь­ные 20 та­ре­лок с де­фек­та­ми по­сту­пят в про­да­жу. Таким об­ра­зом, в про­да­жу по­сту­пят 900 та­ре­лок без де­фек­тов и 20 та­ре­лок с де­фек­та­ми, всего 920 штук. Ве­ро­ят­ность того, что вы­бран­ная при по­куп­ке та­рел­ка не имеет де­фек­тов, со­ста­вит

Округ­ляя ре­зуль­тат до сотых, по­лу­ча­ем 0,98.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Угол лежит во вто­рой чет­вер­ти, по­это­му Тогда

Ответ: 0,6.

Ре­ше­ние. Сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°, по­это­му По тео­ре­ме си­ну­сов:

От­ку­да по­лу­ча­ем, что

Ответ: 16.

Ре­ше­ние. В одной плос­ко­сти лежат пары пря­мых AC и CB, AA₁ и CC₁, A₁C₁ и B₁C₁.

Ответ: 134.

Ре­ше­ние. а)  Раз­ло­жим на мно­жи­те­ли:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти (см. рис.). Под­хо­дят числа  и

Ответ: а)  б) 

Ре­ше­ние. Воз­ве­дем в квад­рат:

Ответ: 87.

Ре­ше­ние. Имеем:

По­стро­им гра­фик.

Пря­мая, па­рал­лель­ная оси абс­цисс за­да­ет­ся фор­му­лой где c  — по­сто­ян­ная. Из гра­фи­ка видно, что пря­мая может иметь с гра­фи­ком функ­ции не более че­ты­рех общих точек.

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Найдём сто­ро­ну DD₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да  — сумма пло­ща­дей всех его гра­ней:

Ответ: 88.

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся в пер­вом ав­то­ма­те, равна 1 − 0,3  =  0,7. Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся во вто­ром ав­то­ма­те, равна 1 − 0,3  =  0,7. Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся хотя бы в одном ав­то­ма­те, равна 1 − 0,12  =  0,88. По­сколь­ку P(A + B)  =  P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,88  =  0,7 + 0,7 − х, от­ку­да ис­ко­мая ве­ро­ят­ность х  =  0,52.

Ответ: 0,52.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Рас­смот­рим со­бы­тия:

Тогда

По усло­вию P(A)  =  P(B)  =  0,3; P(A·B)  =  0,12. Со­бы­тия A и B сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность суммы двух сов­мест­ных со­бы­тий равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий, умень­шен­ной на ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния:

Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия, со­сто­я­ще­го в том, что кофе оста­нет­ся в обоих ав­то­ма­тах, равна 1 − 0,48  =  0,52.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что со­бы­тия А и В не яв­ля­ют­ся не­за­ви­си­мы­ми. Дей­стви­тель­но, ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий была бы равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: P(A·B)  =  0,3·0,3  =  0,09, од­на­ко по усло­вию эта ве­ро­ят­ность равна 0,12.