ВПР–2026, математика–10: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 7 № 61 Добавить в вариант

На одной из кафедр университета работают 13 человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. Десять человек знают английский, семеро  — немецкий, шестеро  — французский, пятеро знают английский и немецкий, четверо  — английский и французский, трое  — немецкий и французский языки. Выясните, сколько человек знают только английский язык.

Спрятать решение

Решение.

Пусть:

A  — множество людей, знающих английский язык, мощность этого множества $m левая круглая скобка A правая круглая скобка = 10.$

H  — множество людей, знающих немецкий язык, мощность этого множества $m левая круглая скобка H правая круглая скобка = 7.$

Φ  — множество людей, знающих французский язык, мощность этого множества $m левая круглая скобка \Phi правая круглая скобка = 6.$

Следовательно,

$A \cap H$   — множество людей, знающих английский и немецкий язык, $m левая круглая скобка A \cap H правая круглая скобка = 5.$

$A \cap \Phi$   — множество людей, знающих английский и французский язык, $m левая круглая скобка A \cap \Phi правая круглая скобка = 4.$

$H \cap \Phi$   — множество людей, знающих немецкий и французский язык, $m левая круглая скобка H \cap \Phi правая круглая скобка = 3.$

$A \cap H \cap \Phi$   — множество людей, знающих все три языка, $m левая круглая скобка A \cap H \cap \Phi правая круглая скобка = x.$

Используем формулу включений и исключений для трёх множеств:

$m левая круглая скобка А \cup Н \cup \Phi правая круглая скобка = m левая круглая скобка А правая круглая скобка плюс m левая круглая скобка Н правая круглая скобка плюс m левая круглая скобка \Phi правая круглая скобка минус m левая круглая скобка А \cap Н правая круглая скобка минус m левая круглая скобка А \cap \Phi правая круглая скобка минус m левая круглая скобка Н \cap \Phi правая круглая скобка плюс m левая круглая скобка А \cap Н \cap \Phi правая круглая скобка =$
$= 10 плюс 7 плюс 6 – 5 – 4 – 3 плюс x = 13,$ $m левая круглая скобка А \cup Н \cup \Phi правая круглая скобка =$
$= m левая круглая скобка А правая круглая скобка плюс m левая круглая скобка Н правая круглая скобка плюс m левая круглая скобка \Phi правая круглая скобка минус m левая круглая скобка А \cap Н правая круглая скобка минус m левая круглая скобка А \cap \Phi правая круглая скобка минус m левая круглая скобка Н \cap \Phi правая круглая скобка плюс m левая круглая скобка А \cap Н \cap \Phi правая круглая скобка =$
$= 10 плюс 7 плюс 6 – 5 – 4 – 3 плюс x = 13,$

откуда $11 плюс x = 13,$ то есть $x = 2.$ Таким образом, все три языка знают 2 человека.

Число тех, кто знает только английский язык, можно подсчитать, если из числа $m левая круглая скобка A правая круглая скобка$ вычесть тех людей, которые знают кроме английского ещё один или два языка:

$m левая круглая скобка А правая круглая скобка минус левая круглая скобка m левая круглая скобка А \cap Н правая круглая скобка плюс m левая круглая скобка А \cap \Phi правая круглая скобка минус m левая круглая скобка А \cap Н \cap \Phi правая круглая скобка правая круглая скобка = 10 минус левая круглая скобка 5 плюс 4 минус 2 правая круглая скобка = 10 минус 7 = 3.$ $m левая круглая скобка А правая круглая скобка минус левая круглая скобка m левая круглая скобка А \cap Н правая круглая скобка плюс m левая круглая скобка А \cap \Phi правая круглая скобка минус m левая круглая скобка А \cap Н \cap \Phi правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= 10 минус левая круглая скобка 5 плюс 4 минус 2 правая круглая скобка = 10 минус 7 = 3.$

Следовательно, только английский язык знают 3 человека.

Ответ: 3.

Спрятать решение · Помощь