ВПР–2026, математика–10: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 7 № 60 Добавить в вариант

На одной из кафедр университета работают 13 человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. Десять человек знают английский, семеро  — немецкий, шестеро  — французский, пятеро знают английский и немецкий, четверо  — английский и французский, трое  — немецкий и французский языки. Выясните, сколько человек знают ровно два языка.

Спрятать решение

Решение.

Пусть:

А  — множество людей, знающих английский язык, мощность этого множества m(A)  =  10.

H  — множество людей, знающих немецкий язык, мощность этого множества m(Н)  =  7.

Ф  — множество людей, знающих французский язык, мощность этого множества m(Ф)  =  6.

Тогда:

А ∩ Н  — множество людей, знающих английский и немецкий язык, m(А ∩ Н) = 5.

А ∩ Ф  — множество людей, знающих английский и французский язык, m(А ∩ Ф)  =  4.

Н ∩ Ф  — множество людей, знающих немецкий и французский язык, m(Н ∩ Ф)  =  3.

А ∩ Н ∩ Ф  — множество людей, знающих все три языка, m(А ∩ Н ∩ Ф)  =  x.

Используем формулу включений и исключений для трёх множеств:

$m левая круглая скобка А \cup Н \cup Ф правая круглая скобка = m левая круглая скобка А правая круглая скобка плюс m левая круглая скобка Н правая круглая скобка плюс m левая круглая скобка Ф правая круглая скобка минус m левая круглая скобка А \cap Н правая круглая скобка минус m левая круглая скобка А \cap Ф правая круглая скобка минус m левая круглая скобка Н \cap Ф правая круглая скобка плюс m левая круглая скобка А \cap Н \cap Ф правая круглая скобка =$
$= 10 плюс 7 плюс 6 – 5 – 4 – 3 плюс x = 13.$

Тогда 11 + x  =  13, откуда x  =  2. Следовательно, все три языка знают 2 человека.

Число людей, которые знают ровно два языка, можно подсчитать, если сложить число людей, которые знают хотя бы 2 языка, и из каждого из этих множеств вычесть количество людей, знающих все 3 языка. Получаем:

$m левая круглая скобка А \cap Н правая круглая скобка плюс m левая круглая скобка А \cap Ф правая круглая скобка плюс m левая круглая скобка Н \cap Ф правая круглая скобка минус 3 умножить на m левая круглая скобка А \cap Н \cap Ф правая круглая скобка = 5 плюс 4 плюс 3 – 3 умножить на 2 = 12 минус 6 = 6.$ $m левая круглая скобка А \cap Н правая круглая скобка плюс m левая круглая скобка А \cap Ф правая круглая скобка плюс m левая круглая скобка Н \cap Ф правая круглая скобка минус 3 умножить на m левая круглая скобка А \cap Н \cap Ф правая круглая скобка =$
$= 5 плюс 4 плюс 3 – 3 умножить на 2 = 12 минус 6 = 6.$

Следовательно, ровно 2 языка знают 6 человек.

Ответ: 6.

Спрятать решение · Помощь