Дана четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Основание ABCD является прямоугольной трапецией с прямыми углами A и D. Отрезок SD перпендикулярен плоскости основания.
Выберите из предложенного списка пары перпендикулярных прямых.
1) прямые SA и АВ
2) прямые SA и DB
3) прямые AB и SC
4) прямые SD и CB
В ответе запишите номера выбранных пар прямых без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
ИЛИ
Дана четырёхугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит квадрат ABCD. Диагонали квадрата пересекаются в точке O, и отрезок SO перпендикулярен плоскости основания. Точка М — середина стороны CD. Выберите из предложенного списка пары перпендикулярных прямых.
1) прямые SМ и АВ
2) прямые BS и DC
3) прямые SA и DB
4) прямые AB и SO
5) прямые AB и CB
В ответе запишите номера выбранных пар прямых без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
1) Прямая SD перпендикулярна плоскости основания, а потому и лежащей в нем прямой AB. Прямая AD — проекция прямой SA на основание пирамиды — перпендикулярна прямой AB по условию. Следовательно, прямые SA и AB перпендикулярны по теореме о трех перпендикулярах.
2) В трапеции сторона и диагональ не перпендикулярны, поэтому теорему о трех перпендикулярах в данном случае применить нельзя.
3) Прямые AB и SC — скрещивающиеся. Угол SCD — угол между прямой SC и прямой DC, параллельной прямой AB, — острый.
4) Прямая SD перпендикулярна всей плоскости основания, а потому и любой лежащей в нем прямой. Прямая CB лежит в основании пирамиды.
Ответ: 14.
ИЛИ
Четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат и высота которой проецируется в центр основания, является правильной.
1) Прямая SM является медианой равнобедренного треугольника, а потому его высотой и биссектрисой. Следовательно, прямая SM перпендикулярна прямой DC, то есть и параллельной ей прямой AB.
2) Прямые BS и DC — скрещивающиеся. Следовательно, угол между ними равен углу между прямыми BS и AB, потому что прямые AB и DC параллельны. Этот угол острый.
3) Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому прямая AO — проекция прямой SA на плоскость основания — перпендикулярна прямой DB. Следовательно, прямые SA и DB перпендикулярны по теореме о трех перпендикулярах.
4) Прямая SO перпендикулярна основанию пирамиды, а потому и любой лежащей в нем прямой. Прямая AB лежит в основании пирамиды.
5) Все углы квадрата равны 90°.
Ответ: 1345.