Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 1741
i

Дан пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед ABCDA1B1C1D1, в ос­но­ва­нии ко­то­ро­го лежит пря­мо­уголь­ник со сто­ро­на­ми AB = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та и BC = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та . Из­вест­но, что CC_1 = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та и что точка M яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра AA1. Най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми B1M и C1A.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Про­ве­дем пря­мую AN па­рал­лель­но пря­мой B1M, по тео­ре­ме Фа­ле­са точка N яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра BB1. Угол C1AN  — ис­ко­мый.

Диа­го­наль C1A пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна

C_1A = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AD в квад­ра­те плюс AB в квад­ра­те плюс AA_1 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 плюс 5 плюс 12 конец ар­гу­мен­та = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та .

Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков ABN и C1B1N по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра со­от­вет­ствен­но по­лу­ча­ем:

AN = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AB в квад­ра­те плюс BN в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 плюс 3 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та ,

C_1N = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: B_1C_1 плюс B_1N в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 плюс 3 конец ар­гу­мен­та = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка C1AN на­хо­дим:

ко­си­нус \angle C_1AN = дробь: чис­ли­тель: AC_1 в квад­ра­те плюс AN в квад­ра­те минус C_1N в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 AC_1 умно­жить на AN конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 20 плюс 6 минус 8, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рийБалл
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Ре­ше­ние в целом вер­ное, но со­дер­жит не­до­стат­ки или вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026