РЕШУ ВПР — математика–10

Задания

Тип 16 № 1208 Добавить в вариант

Задачи по стереометрии. Угол и расстояние между скрещивающимися прямыми

Дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1,$ все рёбра основания которой равны $2 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$ Сечение, проходящее через боковое ребро $AA_1$ и середину M ребра $B_1C_1,$ является квадратом. Найдите расстояние между прямыми $A_1B$ и $AM.$

Решение.

Пусть данное сечение призмы  — квадрат $AA_1ML.$ Тогда диагонали перпендикулярны: AM⟂ $A_1L,$ а по теореме о трёх перпендикулярах AM⟂ $BC.$ Следовательно, AM⟂ $A_1BC.$ Отсюда следует, что искомым расстоянием между прямыми $A_1B$ и AM является длина перпендикуляра OP, опущенного из точки пересечения диагоналей квадрата $AA_1ML$ на прямую $A_1B$ так как OP⟂ $A_1B$ и OP⟂ $AM.$

Сторона квадрата $AA_1ML$ равна высоте треугольника ABC, то есть $AL= корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента ,$ а его диагональ $A_1L= корень из: начало аргумента: 42 конец аргумента .$ В равнобедренном треугольнике A_BC основание $BC=2 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента ,$ боковая сторона $A_1B=7.$ Отсюда, используя подобие треугольников $A_1OP$ и $A_1BL,$ найдём

$OP= дробь: числитель: A_1O умножить на LB, знаменатель: A_1B конец дроби = дробь: числитель: A_1L умножить на BC, знаменатель: 4A_1B конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 42 конец аргумента умножить на 2 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 4 умножить на 7 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерий	Балл
Обоснованно получен верный ответ	2
Решение в целом верное, но содержит недостатки или вычислительные ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Ключ