РЕШУ ВПР — математика–10

Задания

Тип 13 № 115 Добавить в вариант

Тригонометрические уравнения. Задания для подготовки

а)  Решите уравнение: $2 минус косинус x = 2 синус в квадрате x.$

б)  Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (8; 13].

Решение. а)  Из основного тригонометрического тождества следует, что $синус в квадрате x = 1 минус косинус в квадрате x.$ Подставляя, получаем:

$2 минус косинус x = 2 левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате x правая круглая скобка равносильно 2 косинус в квадрате x минус косинус x = 0 равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений косинус x = 0, косинус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 минус косинус x = 2 левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате x правая круглая скобка равносильно 2 косинус в квадрате x минус косинус x = 0 равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 0, косинус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Для отбора корней воспользуемся единичной окружностью (см. рис.). Итак, промежутку принадлежат корни $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби$ и $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ,$ б)  $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$

Критерии проверки:

Критерий	Балл
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Дан верный ответ в пункте 1. ИЛИ Ход решения верный для обоих пунктов, но допущена вычислительная ошибка	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

115

а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ,$ б)  $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	115	а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ,$ б)  $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$