Ре­ше­ние.

Пусть O  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из D на ABC. По­сколь­ку все рас­сто­я­ния от D до вер­шин ос­но­ва­ния равны, то все пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки DOA, DOB, DOC равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе, сле­до­ва­тель­но, то есть O   центр опи­сан­ной окруж­но­сти ос­но­ва­ния, а зна­чит се­ре­ди­на ги­по­те­ну­зы. Най­дем ее ра­ди­ус:

ра­ди­ус равен Тогда

а)  Имеем:

(при вы­чис­ле­нии апо­фе­мы ис­поль­зо­ва­на рав­но­бед­рен­ность тре­уголь­ни­ка BCD).

б)  Пусть M  — се­ре­ди­на от­рез­ка AD, N  — се­ре­ди­на от­рез­ка AO. Тогда MN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ADO и по­то­му и

Про­ве­дем те­перь через N пря­мую Тогда а тре­уголь­ни­ки NTC и ABC по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том

Зна­чит За­ме­тим, что про­ек­ци­ей MT на плос­кость ос­но­ва­ния слу­жит NT и по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах На­ко­нец,

Ответ: а) б)