ВПР–2026, математика–10: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 110 Добавить в вариант

а)  Решите уравнение: $синус в квадрате x плюс косинус x плюс 1 = 0.$

б)  Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (9; 12).

Спрятать решение

Решение.

а)  Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и разложим на множители:

$синус в квадрате x плюс косинус x плюс 1 = 0 равносильно левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка минус косинус x минус 1 минус 1 = 0 равносильно косинус в квадрате x минус косинус x минус 2 = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка косинус x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений косинус x = 2, косинус x = минус 1 конец совокупности . равносильно косинус x = минус 1 равносильно x = Пи плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$ $синус в квадрате x плюс косинус x плюс 1 = 0 равносильно левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка минус косинус x минус 1 минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно косинус в квадрате x минус косинус x минус 2 = 0 равносильно левая круглая скобка косинус x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 2, косинус x = минус 1 конец совокупности . равносильно косинус x = минус 1 равносильно x = Пи плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$ $синус в квадрате x плюс косинус x плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка минус косинус x минус 1 минус 1 = 0 равносильно$
$равносильно косинус в квадрате x минус косинус x минус 2 = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка косинус x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений косинус x = 2, косинус x = минус 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно косинус x = минус 1 равносильно x = Пи плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

б)  Для отбора корней воспользуемся единичной окружностью (см. рис.). Итак, промежутку принадлежит корень $x = 3 Пи .$

Ответ: а)  $левая фигурная скобка Пи плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ,$ б)  $3 Пи .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерий	Балл
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Дан верный ответ в пункте 1. ИЛИ Ход решения верный для обоих пунктов, но допущена вычислительная ошибка	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь