Ре­ше­ние. Пусть x  — пер­во­на­чаль­ная цена на товар. Тогда в чет­верг цена то­ва­ра была равна 1,2x, а в пят­ни­цу  — сле­до­ва­тель­но, товар по­до­ро­жал на 44%.

Ответ: 44.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Таким об­ра­зом,

Ответ: 20,25.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 0,75.

Ре­ше­ние. Най­дем пер­вый член про­грес­сии:

Най­дем две­на­дца­тый член про­грес­сии:

Най­дем сумму пер­вых две­на­дца­ти чле­нов про­грес­сии:

Ответ: 198.

Ре­ше­ние. Пусть x  — мень­ший из углов па­рал­ле­ло­грам­ма, тогда   — боль­ший угол. Так как сумма углов па­рал­ле­ло­грам­ма, при­ле­га­ю­щих к одной сто­ро­не, равна 180°, по­лу­ча­ем урав­не­ние:

Сле­до­ва­тель­но, углы па­рал­ле­ло­грам­ма равны 70°, 70°, 110° и 110°.

Ответ: 70.

Ре­ше­ние. Вы­сту­пать пер­вой может любая из 21 пары, а по­след­ней  — любая из остав­ших­ся 20. Таким об­ра­зом, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность будет равна

Ответ: 0,1.

Ре­ше­ние. Пусть A  — мно­же­ство уча­щих­ся, по­се­ща­ю­щих кру­жок по ма­те­ма­ти­ке, B  — мно­же­ство уча­щих­ся, по­се­ща­ю­щих кру­жок по про­грам­ми­ро­ва­нию. Имеем:

Ответ: 25.

Ре­ше­ние. Гра­фик функ­ции имеет вид па­ра­бо­лы, сдви­ну­той от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат на 3 еди­ни­цы право вдоль оси абс­цисс и на 2 еди­ни­цы вверх вдоль оси ор­ди­нат. Зна­чит, Имеем:

Ответ: − 915.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим все слу­чаи вы­па­де­ния 5, 6, 7 или 8 очков со­от­вет­ствен­но после двух брос­ков:

— 5 очков можно по­лу­чить ком­би­на­ци­я­ми 1 + 4, 4 + 1, 2 + 3, 3 + 2.

— 6 очков можно по­лу­чить ком­би­на­ци­я­ми 1 + 5, 5 + 1, 2 + 4, 4 + 2, 3 + 3.

— 7 очков можно по­лу­чить ком­би­на­ци­я­ми 1 + 6, 6 + 1, 2 + 5, 5 + 2, 3 + 4, 4 + 3.

— 8 очков можно по­лу­чить ком­би­на­ци­я­ми 2 + 6, 6 + 2, 3 + 5, 5 + 3, 4 + 4.

Всего 20 ком­би­на­ций, лишь в двух из ко­то­рых ко­ли­че­ство очков при брос­ках оди­на­ко­во  — 3 + 3 или 4 + 4. Ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна

Ответ: 0,1.

Ре­ше­ние. По усло­вию гра­дус­ная мера угла α лежит в тре­тьей чет­вер­ти  — ко­си­нус от­ри­ца­те­лен, а тан­генс от­ри­ца­те­лен. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Итак,

Ответ: 16.

Ре­ше­ние. Так как по­лу­ча­ем, что Пло­щадь тре­уголь­ни­ка AMN равна

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. 1)  Пря­мая SM со­дер­жит от­ре­зок SM, яв­ля­ю­щий­ся ме­ди­а­ной рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, а по­то­му и вы­со­той. Зна­чит, пря­мая SM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой CB. В тре­уголь­ни­ке ABC пря­мая NP со­дер­жит сред­нюю линию, па­рал­лель­ную пря­мой BC. Сле­до­ва­тель­но, пря­мые NP и SM пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

2)  Пря­мая NP лежит в плос­ко­сти ос­но­ва­ния, а пер­пен­ди­ку­ляр к нему  — пря­мая SA. Пря­мые SN и NP не пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

3)  Пря­мая SA пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния по усло­вию. Пря­мая OC лежит в этой плос­ко­сти, сле­до­ва­тель­но, пря­мые SA и OC пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

4)  Пря­мая AO со­дер­жит в себе от­ре­зок AM  — ме­ди­а­ну и вы­со­ту рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка. Зна­чит, пря­мая AO пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC, а по­то­му и па­рал­лель­ной ей пря­мой NP (см. пункт 1).

5)  Пря­мая CP пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AB  — про­ек­ции пря­мой SB на плос­кость ос­но­ва­ния. По­это­му пря­мые SB и CP пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

Ответ: 1345.

Ре­ше­ние. а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти (см. рис.). Нам под­хо­дят корни 

Ответ: а)  б) 

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние.

а)  Гра­фик функ­ции имеет вид вет­вей ги­пер­бо­лы, сдви­ну­той вдоль оси абс­цисс на 5 еди­ниц влево и на 3 еди­ни­цы вверх вдоль оси ор­ди­нат. При этом часть пра­вой ветви, ле­жа­щая ниже оси абс­цисс, «от­ра­же­на» от­но­си­тель­но этой оси. Вер­ти­каль­ной асимп­то­той для обеих вет­вей слу­жит пря­мая x  =  – 5, го­ри­зон­таль­ная асимп­то­та для левой ветви  — y  =  3.

б)  Из гра­фи­ка видно, что урав­не­ние имеет ровно одно ре­ше­ние толь­ко при c  =  0 и c  =  3.

Ответ: а)  см. ри­су­нок, б)  c  =  0, c  =  3.

Ре­ше­ние.

Про­ве­дем в тре­уголь­ни­ке A₁CB пер­пен­ди­ку­ляр A₁H. Из усло­вия ребро AA₁ пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ABC, то есть оно также пер­пен­ди­ку­ляр­но и от­рез­ку AH. Тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах от­ре­зок AH пер­пен­ди­ку­ля­рен ребру BC, а угол A₁HA  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми ABC и A₁BC. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке A₁AH по­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Со­бы­тие «для пе­ре­да­чи по­тре­бу­ет­ся не боль­ше че­ты­рех по­пы­ток» рав­но­ве­ро­ят­но со­бы­тию «для пе­ре­да­чи по­тре­бу­ет­ся одна, две, три или че­ты­ре по­пыт­ки». Сле­до­ва­тель­но, по­дой­дут че­ты­ре слу­чая:

1.  СМС от­прав­ле­но с пер­вой по­пыт­ки, ве­ро­ят­ность этого равна 0,5.

2.  СМС не от­пра­ви­лось в пер­вый раз, но от­пра­ви­лось со вто­рой по­пыт­ки. Ве­ро­ят­ность этого равна 

3.  СМС не от­пра­ви­лось за пер­вые две по­пыт­ки, но от­пра­ви­лось с тре­тьей. Ве­ро­ят­ность этого равна 

4.  СМС не от­пра­ви­лось за пер­вые три по­пыт­ки, но от­пра­ви­лось с чет­вер­той. Ве­ро­ят­ность этого равна 

Итак, ве­ро­ят­ность того, что для пе­ре­да­чи по­тре­бу­ет­ся мень­ше трех по­пы­ток, равна сумме ве­ро­ят­но­стей опи­сан­ных выше слу­ча­ев, то есть 0,9375.

Ответ: 0,9375.