РЕШУ ВПР — математика–10

Задания

Тип 16 № 1775 Добавить в вариант

Задачи по стереометрии. Параллелепипед

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, в основании которого лежит квадрат ABCD со стороной $AB = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Известно, что BB₁  =  4 и что точка K  — середина ребра AA₁. Найдите косинус угла между прямыми B₁C и KD.

Решение. Прямая DA₁ параллельна прямой CB₁. Угол A₁DK  — искомый.

Диагональ C₁A прямоугольного параллелепипеда равна

$C_1A = корень из: начало аргумента: AD в квадрате плюс AB в квадрате плюс AA_1 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 3 плюс 5 плюс 12 конец аргумента = 2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Из прямоугольных треугольников DD₁A₁ и DKA по теореме Пифагора соответственно получаем:

$DA_1 = корень из: начало аргумента: DD_1 в квадрате плюс D_1A_1 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 16 плюс 2 конец аргумента = 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$

$DK = корень из: начало аргумента: AD в квадрате плюс AK в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 2 плюс 4 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента .$

По теореме косинусов для треугольника A₁DK находим:

$косинус \angle A_1DK = дробь: числитель: A_1D в квадрате плюс DK в квадрате минус A_1K в квадрате , знаменатель: 2 DA_1 умножить на DK конец дроби = дробь: числитель: 18 плюс 6 минус 4, знаменатель: 2 умножить на 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 9 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 9 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерий	Балл
Обоснованно получен верный ответ	2
Решение в целом верное, но содержит недостатки или вычислительные ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Ответ: $дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 9 конец дроби .$

1775

$дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 9 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерий	Балл
Обоснованно получен верный ответ	2
Решение в целом верное, но содержит недостатки или вычислительные ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1775	$дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 9 конец дроби .$

Ключ