Тип 16 № 17 
Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей. Задания для подготовки
i
Дана четырёхугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит квадрат ABCD. Диагонали квадрата пересекаются в точке O, и отрезок SO перпендикулярен плоскости основания. Точка М — середина стороны CD. Выберите из предложенного списка пары перпендикулярных прямых.
1) прямые SМ и АВ
2) прямые BS и DC
3) прямые SA и DB
4) прямые AB и SO
5) прямые AB и CB
В ответе запишите номера выбранных пар прямых без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение. Четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат и высота которой проецируется в центр основания, является правильной.
1) Прямая SM является медианой равнобедренного треугольника, а потому его высотой и биссектрисой. Следовательно, прямая SM перпендикулярна прямой DC, то есть и параллельной ей прямой AB.
2) Прямые BS и DC — скрещивающиеся. Следовательно, угол между ними равен углу между прямыми BS и AB, потому что прямые AB и DC параллельны. Этот угол острый.
3) Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому прямая AO — проекция прямой SA на плоскость основания — перпендикулярна прямой DB. Следовательно, прямые SA и DB перпендикулярны по теореме о трех перпендикулярах.
4) Прямая SO перпендикулярна основанию пирамиды, а потому и любой лежащей в нем прямой. Прямая AB лежит в основании пирамиды.
5) Все углы квадрата равны 90°.
Ответ: 1345.
Ответ: 1345
PDF-версии: