РЕШУ ВПР — математика–10

Задания

Тип 13 № 105 Добавить в вариант

Тригонометрические уравнения. Задания для подготовки

а)  Решите уравнение $2 косинус 2x минус 3 плюс 4 синус x = 0.$

б)  Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

$2 косинус 2x минус 3 плюс 4 синус x = 0 равносильно 2 умножить на левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка минус 3 плюс 4 синус x = 0 равносильно 2 минус 4 синус в квадрате x минус 3 плюс 4 синус x = 0 равносильно$
$равносильно 4 синус в квадрате x минус 4 синус x плюс 1 = 0 равносильно левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка в квадрате = 0 равносильно синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 косинус 2x минус 3 плюс 4 синус x = 0 равносильно 2 умножить на левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка минус 3 плюс 4 синус x = 0 равносильно$
$равносильно 2 минус 4 синус в квадрате x минус 3 плюс 4 синус x = 0 равносильно 4 синус в квадрате x минус 4 синус x плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка в квадрате = 0 равносильно синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 косинус 2x минус 3 плюс 4 синус x = 0 равносильно$
$равносильно 2 умножить на левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка минус 3 плюс 4 синус x = 0 равносильно$
$равносильно 2 минус 4 синус в квадрате x минус 3 плюс 4 синус x = 0 равносильно$
$равносильно 4 синус в квадрате x минус 4 синус x плюс 1 = 0 равносильно левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка в квадрате = 0 равносильно$
$равносильно синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Для отбора корней воспользуемся единичной окружностью (см. рис.). Итак, промежутку принадлежит корень $x = дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ,$ Б)  $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерий	Балл
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Дан верный ответ в пункте 1. ИЛИ Ход решения верный для обоих пунктов, но допущена вычислительная ошибка	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

105

а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ,$ Б)  $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	105	а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ,$ Б)  $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$